Der Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist eines der sieben ungelösten Probleme der Mathematik, die im Jahr 2000 in die Liste der Millennium-Probleme aufgenommen wurden. In Hinsicht auf rationale Lösungen für elliptische Kurven definierende Gleichungen konnten für eine breite Klasse elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen große Fortschritte erzielt werden. Das EU-finanzierte Projekt ShimBSD arbeitet daran, diese Beschreibungen maßgeblich zu erweitern. Die Forschenden planen, anhand eines innovativen Ansatzes neue Fälle der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und anderer Vermutungen zu beweisen, die über die zuletzt in den 1990er Jahren erzielten kritischen Durchbrüche hinausgehen.
Eines der berühmtesten offenen Probleme der Mathematik ist die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (BSD), welche vorhersagt, dass die Größe der Menge der rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve durch die Ordnung der Nullstelle bei s = 1 ihrer Hasse–Weil-L-Funktion bestimmt wird. Aufbauend auf einem entscheidenden Durchbruch von Kolyvagin in den 1990er Jahren – der Entdeckung des ersten Beispiels eines „Eulersystems“ – wurde die BSD-Vermutung nun für eine breite Klasse elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen bewiesen: nämlich für jene, bei denen die Ordnung der Nullstelle der L-Funktion (der „analytische Rang“) 0 oder 1 beträgt, was vermutungsweise 100 % der elliptischen Kurven ausmacht.
Der Fall der elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen ist jedoch nur die Spitze des Eisbergs. Versionen der BSD-Vermutung werden auch für elliptische Kurven über Zahlkörpern und allgemeiner für abelsche Varietäten beliebiger Dimension erwartet (wobei elliptische Kurven den Fall der Dimension 1 darstellen). Noch allgemeiner sagt die Bloch–Kato-Vermutung voraus, dass für jede aus der Geometrie stammende L-Funktion ihre Nullstellenordnung an jeder ganzzahligen Stelle geometrische Informationen kodiert. Diese Vermutungen liegen jedoch weit außerhalb der Reichweite von Kolyvagins Eulersystem.
Ziel meines Vorschlags ist es, neue Fälle der BSD-Vermutung und der Bloch–Kato-Vermutung zu beweisen, indem neue Eulersysteme verwendet werden, die aus der Geometrie unitärer und symplektischer Shimura-Varietäten hervorgehen. Insbesondere werde ich den Fall des Rangs 0 der BSD-Vermutung für abelsche Flächen über den rationalen Zahlen, elliptische Kurven über imaginär-quadratischen Zahlkörpern und abelsche Dreifaltigkeiten mit komplexer Multiplikation beweisen, unter der Annahme, dass geeignete Modularitätsresultate für diese Objekte gelten (was in vielen Fällen bekannt ist).
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